祝融说。

两句话用了同一批确认

唐可从历史表里圈出R01、R02、R03。她说，这几项既表示清单收到，也在目标窗口内确认了；过去确认的请求里，多数有这种消息，所以现在R17收到消息，应该可以按这个多数判断。

顾宁让她把多数指向的人数写出来。过去五项确认中，三项有指定消息，是五分之三；过去四项有消息的请求中，三项确认，是四分之三。两个问题都圈中了这三项，分母却分别是五项和四项。

唐可没有编造任何对象，也没有记错三次共同出现。困难在于，她从已经知道结果的一组回查消息，再把这个比例交给了只知道消息、尚不知道结果的R17。倒过来读一句话，计算范围不一定跟着完整倒过来。

本章仍是虚构澄湾的连续思想实验，沿用上一章已经核对的八项，不增加委托方的新回复或主线确认。这里要解决的不是消息最终值多少，而是先辨认，哪一个方向的比例能够回答现在提出的问题。

固定字母，不固定提问方向

A保留原窗口内收到对第一版的完整确认。B保留相应周四十点之后截至十一点二十分，在约定渠道收到明确表示清单收到的消息。范围、支付条件、接收时段全部接受才属于A；B只是一项有限消息状态。

过去八项中，A与B都满足的是R01、R02、R03。满足A而不满足B的是R05、R06；满足B而不满足A的是R04；两者都不满足的是R07、R08。以上对应没有因唐可提出另一问题而改变。

这意味着可以从结果组回看条件，也可以从条件组查看结果。二者都允许，只要说清楚各自在谁中间计算。错误不在于回看结果，而在于将回看的答案当成正向问题已经得到回答。

八项资料及条件表在周四十二点才整理到顾宁面前。她现在有两种可核对描述，但没有因此在十点就知道R17会收到哪种消息。反向分析也不能越过信息取得时点，替早先版本补材料。

从五项确认中回看消息

若问确认者中有多少满足B，先进入五项A对象。R01、R02、R03有B，R05、R06没有B，比例是三除以五。R04虽然有B，但不属于这五项结果组，所以不进入这一次分母。

按照同一概率模型的条件定义，方向写作：

$$ P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} $$

这一步要求A的概率大于零。与第七章的定义相接，区别是把A放在竖线右侧，表示先限定到A发生的范围。公式依据可回查康奈尔大学CS2800条件概率课程讲义。

若仍以八项等权建立描述性经验分布，共同出现占八分之三，A占八分之五，两者相除得到五分之三。这里没有另造一个概率模型，只是换了在同一表中提出的问题。

五分之三可以用于描述这些历史确认对象的早期消息。它不是错误数据，也不需要被禁止使用。若研究的正是确认对象的沟通轨迹，这个方向就符合问题；若预测对象只有B，五分之三则不能直接担任目标概率。

从四项消息中查看结果

R17当前已取得B类型消息。要问有这类消息者中多少满足A，历史对应范围是R01至R04四项；其中前三项确认，R04未满足原窗口目标，比例是三除以四。

写作P(A给定B)时，竖线右边是B，分母也回到B的范围。三项共同出现仍在，却必须同时保留R04这个有消息而未确认的对象。不因为前三项故事更顺，就让它从问题里消失。

两种方向可以用一张小对照表保存，不需重新收集两批独立样本。

表中三项共同出现不是六个对象。把两个比例并排也不提供两份相互独立的支持。它们共享同一四格对应，后文处理来源时仍需记得这点。

反向比例什么时候碰巧一样

唐可问，如果两个方向有时相等，为什么还要这么严格地分开？在共同出现有正概率、两个分母也为正的同一模型中，分母份额相等时，这两个比值会相等。相等来自数量关系，不使两个提问成为同一个问题。

例如作一个独立比较：十项中A有四项，B也有四项，两者共同有两项。两个方向都是二分之一。若以后B多出两项而A仍四项、共同两项也不变，方向分别变为二分之一和三分之一。

这个比较没有写入澄湾历史。它说明相等可能只依赖当前份额。不能在一次相等后宣布以后都可以倒读，也不能因为数字不相等就断言某张表算错；应先看各自分母。

另一种相等是两组没有共同对象，两个方向在分母为正时都为零。它同样不提供词语可互换的规则。数学结果相同与条件意义相同，是两层不同的核对。

必要关系也不等于充分关系

作一个更容易诱使人倒读的假设比较：某个保存完整的有限集合里，所有确认对象此前都取得B消息。于是从A组回看，B的比例是一。若还有不少未确认对象也取得B，从B组查看A就不会同样是一。

人容易将全部确认都有这种消息，缩成这种消息就是确认标志。前一句没有说明有消息对象一共有多少，也没有排除消息出现在未确认者中。即使前一句在该集合内完全真实，后一句仍可能越过材料。

用对象关系说，是A范围包含在B范围之内，不代表B范围也包含在A之内。若要在同一集合说两者等同，需要核对两边的对象，而不是只检查结果组没有漏掉消息。

反过来，若有限集合里所有B对象都确认，也不能说所有确认者必有B。R05和R06这样的无B确认对象若存在，就会打断另一方向的全称。这里只说明逻辑关系，不改写本书原表中R04有B未确认的事实。

这不是要求读者永远拒绝肯定判断。材料若确实支持某种范围内的包含关系，可以如实采用；但它首先属于已经核对的范围。把有限历史里的全部扩大成未来任何对象，还需要另外说明迁移根据。

多数确认者的故事漏掉了谁

唐可圈中三项，是因为它们同时满足指定时窗的消息条件和原窗口的确认条件。若只讲这三项，听众可能自行补出一条流畅过程：先收到，再继续，最后确认。然而历史表尚未逐项核对收件先后，这条过程不能当作已经查明的事实。R04满足同一消息条件，却没有同样窗口结果，也使这条故事无法代替条件计数。

R04不是为了反驳而额外找来的异常者，它原本就在有B的四项中。反向判断要返回它，因为当前提问的分母包括它。是否少见不改变应不应该计入；它带来的限制与它的数量可以同时说明。

同样，R05和R06提醒人，未出现这类早时窗消息不排除后来确认。它们不属于当前B组，却属于解释B是不是确认必需标志时应看的对象。不同异议需要不同范围，不是任何时候都把八项平均摊开。

第三章说明材料怎样进入，后文还会检验选择机制。本章先保留更基本的一步：即使入口和资料完全不变，只换了一句提问，也可能需要让原来未被圈中的对象重新进入判断。

总体份额怎样影响倒推

只知道确认对象中B有多常见，仍不知道有B对象里多少会确认。因为未确认对象也可能出现B，而两类结果在总体中的数量不同。回到同一表，才能知道每一类向B组贡献了多少对象。

为展开这个限制，下面另设两张完全假定的百项表。它们不是澄湾的新资料，也不是任何行业统计。两表都令确认组中的B占二分之一，未确认组中的B占十分之一，只改变确认对象在总体中的份额。

第一张百项表有十项确认、九十项未确认。确认组五项有B，未确认组九项有B，全部有B的是十四项。有B者中的确认比例为十四分之五，不是二分之一。

第二张百项表有九十项确认、十项未确认。确认组四十五项有B，未确认组一项有B，全部有B的是四十六项。有B者中的确认比例为四十六分之四十五，仍不是二分之一。

两表从确认组回看B的比例都没有改变，未确认组中的B比例也没有改变。倒推结果却很不同，因为两组总体份额不同。本章以明确项数展示这种关系，下一章再分析消息相对区分作用，第十章才系统展开更新。

不能将这两张假定表用于替R17编一个范围。它们的作用是证明缺少总体份额时，一个方向的比例不足以固定另一个方向；不是说澄湾的实际概率就在这两个结果之间。

百分数背后应补问什么

如果某人只交来一句，确认者中一半有这类消息，顾宁应先知道他究竟回答什么。若任务是描述确认者，句子可以成立；若任务是预测有消息者，需要补问未确认者中消息怎样出现，以及总体各类占多少。

只补一句总样本一百项仍不够。第一张与第二张都一百项，结果相反地靠近不同方向。样本总量不能代替分组结构，大数字也不能帮一个方向直接倒转。

若材料只提供两类中的一类，顾宁应保存缺口，不虚构另一类全无此消息。未知不是零。也不能因为对方没有报告另一类，就将它们删出实际问题的总体。

补问并不总要求获得全体真实资料。可以在有限来源内补齐对应，也可以明确另立假设并给出条件性推算。关键是把取得的量与假设的量分开，让使用者知道结果依什么变化。

没有消息也有两个方向

同一错误也会发生在否定说法中。若问未确认对象中多少没有B，原表三项未确认里R07、R08没有B，是三分之二。若问没有B的对象中多少未确认，四项无B者中同样两项未确认，是二分之一。

两个方向仍共享那两项，分母分别是三项和四项。看不到消息容易令人更快作悲观解释，却不使比例能够反过来使用。R05和R06没有早期B仍确认，正是后一问题分母中不能删去的对象。

未收到指定类型消息还不等于没有任何联系，更不等于明确拒绝。B的否定范围保留原时间和内容限定，不能在表格转述时扩大成完全不回复；A的否定也只保留窗口事件未成立，不变成最后合作必然失败。

顾宁于是检查四种完整问句，而不只检查两种肯定问句。目标和条件各自肯定或否定，怎样组合取决于当前问题；无论语气乐观还是悲观，都须返回实际分母。

倒推条件不是倒转时间

从A组回看B，使用了已经可裁决的目标窗口结果来选择历史对象。这是回顾性描述，允许看已经取得的过去结果。它既不表示A在时间上发生于B之前，也不证明B先于A；实际顺序仍须逐项回查。条件方向本身不证明确认造成消息，或消息造成确认。

从B组查看A则更接近当前预测的提问方向，但历史比例本身仍是在结果已知后整理的。顾宁能否用于R17，需要辨认B在预测时点可取得及对象是否相近；不能仅凭句子按时间顺序写就称已完成前瞻检验。

因果方向、时间先后和条件概率方向并不互相代替。一个较早条件可以被较后结果给定后回查，一个较后结果可以在较早条件给定下研究；符号只说明范围，不替实际机制裁决。

这一点保护本册的任务。我们先把判断问清楚，后文再查解释条件；不把回顾性相似故事直接当作因果发现，也不因没有因果证明就否认一切描述关联。

把倒读的句子还原为问题

顾宁可以要求每次转述给出两句完整话：材料原本说的是谁中间有多少什么，现在要判断的是谁中间有多少什么。两句若分母相同，再核对分子；分母不同，就返回对应表，不凭共有关键词直接采用。

例如，已确认的五项中三项有B，原句中的谁是五项确认者。当前有B的R17会否确认，谁则对应历史四项消息者。原句里的多数没有携带R04，转向当前问题时必须补回这个对象。

若只有原句，没有四格对应，顾宁不必立刻拒绝整份材料。可以先将它放在适合的方向，用作有限描述，再说明当前预测还缺哪个方向的数量。材料的用途可收缩，不必在全信与全弃之间二选一。

核对结果还应反馈给转述者。唐可今后说多数时，可以同时说明多数属于哪一组，而不是要求听众自行猜测。语言变清楚没有增加外部事实，却使同一份材料更难在传播中越过范围。

补数必须留在同一分母内

唐可还可以作另一种貌似方便的转换：五分之三确认者有B，那么剩下五分之二就是有B者不确认。问题在于剩下仍在五项确认者中，指的是R05和R06没有B，根本不是R04这种有B未确认的对象。

在同一个给定范围内，将目标改为其否定，两个比例才能相加为一。确认者中有B占五分之三，没有B占五分之二；有B者中确认占四分之三，未确认占四分之一。两组各自闭合，不能横着拼接。

这使核对变得具体。看到一句剩下多少，先问剩下的是哪批对象，不因算式一减某数正确就认为含义正确。数字补足了一，语义仍可能越出分母；守住给定条件，才知道被补出的那部分是谁。

补数也不自动给出不知道的比例。若原资料只说明确认者中的消息，而没有取得消息组总量，减法不能替代缺少的另一组材料。这样保存未知，比在另一方向填写一个算得出的错误数更有用。

两份摘要能不能拼成四格表

假如唐可拿来一份摘要，称五项确认里三项有清单收到消息，叶澄另拿来一份，称四项消息者里三项确认。数字恰好与原表相同，也不能只凭相同分子就认定它们已经对应。

需要核对两份摘要是否来自同一八项，消息是否截止同一时点，确认是否接受同一第一版条件，三项对象的编号是否相同。若一份把任何时点的回执算作B，另一份只数早时窗，两句都可能在自己的范围内成立，却不能直接填进本章同一四格表。

若一份来自八项，另一份来自另一个较大登记范围，共同出现三项还可能只是数量巧合。总数缺少来路时，不能假定它们重叠，也不能假定彼此独立。先回对象，再接数量，避免把两个完整摘要拼成一份不存在的完整资料。

对应通过后，可以核对行列合计：共同三项分别属于五项A和四项B，余下两项是A无B，一项是B无A，八项中剩下两项均不满足。若合计出现负数或超过总量，应先查口径、重复或记录，而不是给错误表的百分数找解释。

这套还原对本章原表只是回查，不新增事实。它为接手者提供了另一种检查办法：条件方向不仅靠记住竖线，还靠各类对象能否在同一总体中相容。相容是必要检查，也不单独证明原材料真实。

把很常见拆成可以核对的说明

一句确认者常常这样回复，没有比例、没有时点，也没有对象范围，可能只是人物留下的印象。顾宁可以先询问它来自完整整理还是几个记得的案例，不能为了方便计算，将常常自行填成五分之三。

若对方只能指出两项具体例子，可以保存例子的共同过程，却不能称已经取得确认组分母。若能够回查完整五项，才按取得的对应计算。记忆并非必然虚假，它只是尚未提供这次计数要求的覆盖说明。

同样，很少有这种消息却没确认，原句给定的范围可能是有消息者，也可能指全部登记中两者共同出现很少。后一范围里共同出现少，不排除在一个本来就小的消息组内占很大份额。需问清楚少相对于谁，再决定句子支持什么。

这样澄清不会取消人的经验。它让经验从能讲述的例子逐步变成能计数的对应，保留尚未走完的步骤。一个转述者暂时给不出分母，可以继续查证，也可以停留在有限描述；都比将模糊语气硬换成概率更忠于材料。

读者不必把每次日常交谈变成审讯。若一句话只用于闲谈，可以理解其有限表达；当它开始支持具体预测并将交给他人采用，范围、方向与数量便成为必须澄清的内容。判断用途提高了对说明的要求，而不是熟悉程度替代了依据。

即使已经取得比例，展示时也应保留原项数。把十四分之五说成约三成多，适合某些简短沟通，却不应丢掉五项与十四项的对应；后来需要反向核对时，近似语气不能还原所有格子。也不能把两个方向都笼统写成多数，然后认为差别不再重要。表达精度可以按用途选择，原记录则保留足够返回计算的信息，避免舍入后的相似外观代替范围核对。

反向条件对照留下什么

周四十二点十分，顾宁将两个方向的对照保存到十二点历史表旁。原八项对象与第一版窗口保持，B仍只表示指定时窗取得清单收到消息；R17的接收时间待核对，没有新增全部接受材料。

对照写明，三分子相同而分母分别为五与四；五分之三描述确认组中的消息，四分之三描述消息组中的确认。假定百项比较另外保存，不混入原登记数，也不充当当前估计的上下限。

RC 将认知理解为有限视域下可继续生成的表征。这里的有限，不只指样本数量少，也指一句话压缩了哪个范围。将结果组里的经验压成所有有消息者的命运，便让表征省略了当前问题需要的另一部分对象。

修订方向不是废弃压缩，而是让压缩能返回范围和对应。唐可仍可以讲三项共同过程，但顾宁同时保存R04及无B确认者的位置；共识若愿意接受这项核对，就能调整表达，而不将同一句熟悉说法永久固定为答案。

本章解决的是倒推时的范围错误。R17仍没有最终数值预测，四分之三仍只是候选历史参考。下一章将回到五项确认与三项未成立两组，比较B在两类中的出现比例：一条消息是否有区分作用，不能只凭它在某一类里常见就决定。